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CULTURA ESTADÍSTICA VARIABLES ALEATORIAS (Novena lección) Salvador Borrego El concepto de Variable Aleatoria es quizá uno de los más complejos pero sin duda alguna el más importante, porque es un concepto de transición de los fenómenos aleatorios al mundo de la matemática, y en consecuencia es el responsable del fortalecimiento científico de la Estadística. Un concepto matemático muy importante es el de función, que es una forma de asociación entre números. Por ejemplo una función sencilla es f(x) = 2x (esto se lee del siguiente modo: efe de x igual a dos equis), que significa que un número es asociado con su doble, esto es, con el resultado de multiplicarlo por dos. Así, esta función nos relaciona al número 1 con el 2, al número 2 con el 4, al número 3 con el 6, al número π (phi que es aproximadamente 3.1416, ¿se acuerdan?) con 2π y así sucesivamente. En el caso de los fenómenos aleatorios, como pueden ser los juegos de azar, la construcción de una variable aleatoria es en esencia un procedimiento para que los resultados de tales fenómenos se expresen de manera numérica, y para ello debemos sacrificar mucha información de los propios fenómenos, tratando sin embargo de rescatar en este proceso de cuantificación los rasgos esenciales de los fenómenos, que respondan a un interés particular. Consideremos un caso sencillo, el fenómeno aleatorio consistente en lanzar dos monedas al aire simultáneamente. Es claro que podríamos observar cuál de las monedas cayó primero, cuál fue la distancia a la cuál quedaron una de la otra, cuál del lado izquierdo y cuál del lado derecho, etc., pero en este caso nos interesa saber únicamente cuantas águilas aparecieron. Resulta entonces que los cuatro posibles resultados son los siguientes:
Hasta aquí nada nuevo se ha presentado, excepto los posibles resultados de lanzar las dos monedas. Sin embargo, si recordamos nuestro interés por la cantidad de águilas que resultan al lanzar las dos monedas, podemos establecer una relación entre los cuatro posibles resultados anteriores con la cantidad de águilas que les corresponden; así entonces, tenemos que en la primera posibilidad la cantidad de águilas es 2, en la segunda y en la tercera la cantidad de águilas es uno y en la cuarta posibilidad la cantidad de águilas es cero. Esto que hemos hecho, relacionar los resultados de un fenómeno aleatorio con números, es también una especie de función matemática, que nos conduce de los resultados de los fenómenos aleatorios a los números; en este caso de los cuatro posibles resultados a los números dos, uno y cero. A este proceso de cuantificación es a lo que llamamos Variable Aleatoria, y recibe este nombre porque con base en su antecedente aleatorio se puede construir una función matemática, esto es, una forma de relacionar números con números, que tendrá en su racionalidad, o definición, un claro referente al fenómeno aleatorio de lanzar dos monedas al aire. Tengamos presente, porque lo vamos a requerir más adelante, que en el fenómeno aleatorio descrito los posibles resultados son águila-águila, águila- sol, sol -águila y sol - sol. Si cuantificamos el número de águilas tendremos los valores correspondientes: 2, 1, 1 y 0. Si nos preguntamos ahora qué probabilidad tenemos de que que observemos dos águilas, estarán de acuerdo en que ésta es un cuarto, en virtud de que hay un solo resultado favorable entre los cuatro posibles. De igual manera que la probabilidad de observar el valor uno, es un medio, y de observar el valor cero también un cuarto. A las variables aleatorias usualmente se les denota por letras. Por ejemplo podríamos decir que la anterior variable aleatoria sea X, y que esta variable pudiera tomar todos los valores del eje numérico. Si a esta variable se le aplica una función que atienda a su historial aleatorio, entonces se formaría una función f(X) que tendría que relacionar todos los valores del eje numérico con otros números, los cuales quedarían determinados por el referido historial de la variable aleatoria X. Veamos cómo se forma esta función: Tomemos un número cualquiera del eje numérico, digamos el 5, y nos preguntamos ¿Qué probabilidad tenemos de que al lanzar dos monedas nos resulten 5 águilas?, es claro que es imposible, y en consecuencia la probabilidad es cero. En consecuencia también la función que estamos formando asocia al valor 5 del eje numérico con el valor cero. A decir verdad prácticamente todos los valores del eje numérico se asociarían con el cero, con excepción de los valores cero, uno y dos, los cuales se asociarían respectivamente con los valores un cuarto, un medio y un cuarto. Esto es, con los valores 0.25, 0.5 y 0.25. Esta función que hemos descrito es lo que llamamos una función de probabilidad y al hacer esto entramos de lleno al jardín de las matemáticas con todos los beneficios prácticos y estéticos que eso representa y, ya instalados en él, las funciones de probabilidad se convierten en abstracciones o modelos matemáticos de fenómenos de la naturaleza y de la vida social. Todo el negocio de la Ciencia Estadística es sacarle jugo a la posibilidad de estudiar la esencia de múltiples fenómenos en el ámbito matemático, aprovechando su portentoso desarrollo. Hasta la próxima, cuando abordaremos el tema de las funciones de probabilidad más comunes.
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